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▶ 67호 : 좌굴해석, A to Z

이효행 수석매니저
태성에스엔이
hhlee@tsne.co.kr

좌굴해석, A to Z

서론

좌굴 해석은 일반적인 타입의 해석은 아니지만 건축물이나 구조 설계에 필수적인 검토 사항이다. 설계할 때 정상적인 상황만 일어난다고 가정할 수 있다면 좌굴 해석을 굳이 할 필요는 없을지도 모른다.
그러나 다양한 상황에서 최대로 버틸 수 있는 하중과 형상을 알아낸다면 좀더 경제적인 설계나 안전계수, 취약부위 등을 알아낼 수 있을 것이다. 또 재료와 형상에 따른 극한 한계 하중을 계산하고, 설계에 반영하게 되면 경제적이고 안전한 설계도 가능하다.
본 호에서는 이러한 좌굴 해석에 대하여 좀더 정확히 알고 유용하게 사용할 수 있도록 알려드리고자 한다.

1. 좌굴이란?
좌굴의 사전적 의미는 다음과 같다.

1) 기준용어. 강구조에서 임계하중 상태에서 구조물이나 구조요소가 기하학적으로 갑자기 변화하는 한계 상태.
2) 기준용어. 콘크리트구조에서 압축력을 받는 기둥 또는 판재가 안정성에 의해 파괴되는 현상.

3) 가늘고 긴 막대, 얇은 판 등을 압축하면 어느 하중에서 갑자기 가로 방향으로 휨을 발생하고, 이후 휨이 급격히 증대하는 현상.

출처: [네이버 지식백과] 좌굴 [buckling] (대한건축학회 건축용어사전)

사전적 의미처럼 좌굴은 급격한 형상 변화를 동반하는 현상이며, 하중을 받는 부재의 단면이 상대적으로 작을수록 발생할 가능성이 높으며, 좌굴 발생 시 하중 대비 변형이 급격하게 높아지게 된다. 어떻게 보면 이는 결과론 적인 의미이며, 원인과 미시적인 관점에서 살펴보고 좌굴 현상을 알기 위해서 먼저 재료의 특징을 알면 도움이 된다. 재료 역학 관점에서 [그림 1]과 같이 시료에 인장을 가하면 항복응력을 거쳐 인장 응력의 한계까지 도달 후 파괴된다.

[그림 1] 장력이 가해진 표본의 기본적인 정역학적 반응

이렇듯 재료의 파괴는 극한 응력까지 도달해야 진행된다.

그런데 단순히 재료의 특성만 갖고 대상물체의 위험도(파괴 가능성)을 판단하기 어려움이 있기 때문에 보통은 안전율(안전계수=기준강도/사용응력)을 고려해서 설계하게 된다. 이 안전율은 재료의 결함, 열처리, 조립 등의 제조시 불균일성, 시료와 실물의 차이, 노치, 표면 거칠기, 사용 환경 등 여러가지 영향을 주는 요인이 있기 때문에 최소 1.1이상(대상물의 특성이나, 규격 등 여러가지 요인들로 결정)을 사용하게 된다.

[그림 2] 찌그러진 깡통

[그림 2]에 보이는 것처럼 얇은 판재로 만들어진 캔을 예로 들어보자. 캔의 내용물이 없는 상태에서 수직 압축하중을 가하면, 수직 방향과 동일하게 압축되지 않으며 측면이 꺾이는 변형이 발생하며 압축된다. 이러한 특성은 얇은 부재일수록 쉽게 발생되며, 건축물과 같이 체적은 크지만 보기와 같이 상대적으로 얇은 기둥에서 발생될 가능성이 높다. 이렇게 꺾이는 현상을 좌굴이라고 보면 되며, 일반적으로 높은 하중으로 인하여 재료상태의 파괴응력에 도달하기전에 좌굴이 발생할 가능성이 높고 하중 불균일로 파괴되는 것에 주의해야 된다. (순수 압축으로 파괴되는 응력 > 좌굴로 파괴되는 응력)

2. 좌굴 거동

좌굴 거동은 [그림 3]과 같이 실제로는 비선형 좌굴의 거동을 보이게 된다. 그러나 여러가지 이유로 선형 좌굴 거동을 다루고 있으며, 대표적으로 Euler 공식이 있다.
좌굴은 극한점(선형에서는 분기점)이라고 불리는 임계하중을 거치면, 하중이 감소하더라도 변형이 급격히 증가하는 불안정한 구간을 거치면 다시 하중과 변형이 동시에 증가하는 구간으로 접어들게 된다. 캔을 예로 보겠다. 찌그러지기까지는 하중이 증가하지만 찌그러지기 시작한 다음부터 급격하게 변형이 발생하고 일정 변형 이상이 발생하게 되면 다시 하중을 버텨주는 형태가 나타나게 된다. 이러한 형태를 구간으로 나누면 Pre-buckling구간(좌굴 전)과 Post-buckling구간(좌굴 후)으로 나눌 수 있다. Pre-buckling구간은 좌굴이 발생하기 전이며, 대부분 선형 구간이고, Post-buckling구간은 좌굴이 일어난 이후의 거동이다.

[그림 3] 좌굴의 거동 곡선

3. 선형 좌굴 공식

하중이 임계 하중보다 작을 경우, 하중이 제거되면 원래의 모양을 회복하는 안정 상태의 탄성 구조지만 임계 하중보다 더 큰 하중이 가해질 경우는 회복하지 못하고 붕괴되는 불안정 상태의 구조가 된다. 앞서 언급했지만 좌굴 강도(하중)는 재료 강도보다 낮으며 이와 같은 좌굴 하중을 알아내기 위하여 임계 하중을 계산해야만 한다.
이론적인 선형 상태의 임계 하중을 구하는 euler공식은 다음과 같다.

P_cr=(π²EI)/L_e²

여기서 E는 탄성계수, I는 단면 2차 모멘트, Le는 기둥의 등가 길이이다. 오일러 기둥의 등가 길이는 다음과 같다.

[표 1] Effective length of Euler Buckling

이론 값의 유효 길이는 어느 문헌이나 동일했지만 추정 길이(Le)는 문헌별로 상이하여 범위로 표기하였다. 단, 추정 값이 이론 값보다 큰 이유는 임계 하중이 실제보다 높게 계산되어 이에 대한 보정인 것으로 추정된다. 전통적인 선형 좌굴은 위와 같이 구할 수 있지만 실제 임계 하중은 이보다 낮은 경우가 많다. 또 단일 부재는 수 계산이 가능하나 복잡한 구조에서는 한계가 발생할 수 있다.

4. 좌굴 해석

좌굴 해석은 유한요소법을 이용한 고유치 좌굴 해석이나 비선형 좌굴 해석 등의 수치적 방법으로 수행할 수 있다. 고유치 좌굴 해석은 이상적인 선형탄성구조의 이론적 좌굴 강도(분기점)를 예측한다. 분기점에서 좌굴(분기 좌굴: bifurcation buckling)은 새로운 변형 패턴의 무한한 변형을 의미하기 때문에 형태의 불완전성과 재료 비선형성은 고유치 좌굴 해석에 포함되지 않는다. 따라서, 고유치 좌굴 해석으로 구한 강도는 실제 구조물의 강도와 다를 수 있으며 보수적이지 못한 결과가 계산될 수도 있다. 따라서 실제 좌굴 강도 평가에는 이 방법을 사용할 때에는 주의가 필요하다.

4-1. 좌굴 해석 방법

좌굴 해석을 수행하기 위해서는 [그림 4]와 같이 정적 구조해석에 고유치 좌굴 해석 시스템을 연결해야 된다.

이때 정적 구조해석은 선형이거나 비선형이 가능하다.

결과로 발생되는 좌굴 모드 형상은 실제 변위를 나타내지는 않지만 좌굴 모드에 따라 어떤 형태로 변형되는지 볼 수 있다.

선형 해석 기반의 좌굴은 비선형성이 필요하지 않은 조건을 갖고 있는 경우에 가장 빠르고 쉽게 좌굴 하중을 구하는 방법이다. 경계조건, 재료, 접촉과 같은 부분에서 비선형성이 필요한 경우 비선형 기반 좌굴 해석을 수행해야 좀더 현실적인 결과를 얻을 수 있지만 보다 정확한 좌굴 하중을 예측하기 위해서는 후-좌굴(Post-Buckling)을 수행하는 것이 좋다.

4-2. 선형 기반 좌굴 해석

정적 구조해석이 선형인 경우 아래 사항에 주의해야 된다.

- 정적 구조해석에서 적용한 하중의 크기는 실제와 동일할 필요는 없으며, 실제 좌굴 하중은 좌굴해석의 결과인 하중계수에 정적 하중을 곱한 값으로 도출됨

- 복합 하중(2개 이상의)일 경우 좌굴 하중 계수는 모든 하중에 적용되므로, 중력과 같은 단일 정상 상태의 하중이 입력된 경우 반복해석[그림 5 참조]을 통하여 고정 하중(중력과 같이 불변 하중 값을 갖는)을 제외한 좌굴 하중 값(λ=1)을 산출.

[그림 5] 복합 하중(A=수직하중 & W0=중력)을 적용할 경우의 해석 방법
(진행 순서: ①→②→③)

- 좌굴 하중 계수가 음수일 경우 이를 양수로 간주하거나 하중의 방향이 정확한 방향인지 확인

- 좌굴해석에서는 좌굴시의 형상과 하중계수만 보아야 하며, 변형량과 응력은 실제 값이 아님

4-3. 비선형 기반 좌굴 해석

정적 구조해석이 비선형인 경우 아래 사항에 주의해야 된다.
-반드시 형상 비선형성을 정적 해석에서 정의(Large deflection=on)
-해석 진행 시 정적 해석에서 하나 이상의 하중을 정의(이를 활성화하려면 Keep Pre-Stress Load-Pattern 속성을 Yes (기본값)로 설정 확인)

* Load-Pattern Yes 선택 : 좌굴 해석에서 정적 구조 해석의 하중 패턴을 유지상태로 좌굴 하중 계수 계산
* Load-Pattern No 설정 : 고유치 좌굴 해석에서 새로운 하중을 정의(새로운 하중 은 정적 해석과 다르게 입력 가능하며, Node 기반의 경계 조건만 가능)

[그림 6] 비선형 기반 좌굴해석시 Load-Pattern 설정

- 비선형 기반 고유치 좌굴 해석에서 하중 계수는 좌굴 해석 에만 적용되는 하중에 대한 계수를 계산.

- 구조에 대한 최종 좌굴 하중 값을 추정할 때 두 해석 모두에 적용되는 하중을 고려. 비선형 기반 고유치 좌굴 해석을 위한 극한 좌굴 하중을 계산하는 식은 아래와 같다.

F_{buckling total}=F_static+λ_i ? F_buckling_-i

※ 이때 Fstatic은 좌굴 하중보다 작으며, Pre-Stress에서 Last Load step만 고려한 것으로 가정

4-4. Post-buckling 해석 방법

좌굴을 발생시키는 임계하중 이후의 거동을 보고자 하거나 좀더 정확한 임계하중을 알고자 한다면 다음과 같은 순서로 해석을 진행해야 된다.

선형 좌굴 해석 실행 ▶ 결함 생성 ▶ 비선형 좌굴 해석 실행

해석 시스템으로 보게 되면 다음과 같다.

[그림 7] Post-Buckling 해석 시스템 구성

이렇게 해석시스템을 구성하는 이유는 좌굴 하중을 초기에 알 수 없기 때문에 선형 좌굴 해석을 이용하여 임계하중 값을 가늠하는데 사용되고, 좌굴의 형태를 알기 어렵기 때문에 사전에 약간의 결함을 생성하는데도 목적이 있다(약간의 결함으로 인한 형상 변화가 있더라도 탄성 구간내에서 강성은 유사함). 다만 이렇게 해석을 진행하더라도 [그림 3]에서 보는 불안정 구간내의 음의 기울기(하중-변위 곡선)를 감지할 수 없기 때문에 결과가 부정확 할 수 있다. 만약 정확히 알고자 한다면 arc-length method를 사용해야 되며, WB Mechanical에서는 기본으로 제공하고 있지 않기 때문에 명령어로 입력해야 된다.

앞서 언급한 약간의 결함이라 함은 좌굴의 형상이 반영된 모델을 지칭한다. 하지만 선형 좌굴 해석에서 발생된 변형량은 단위 길이의 형상으로 나타나 있기 때문에 변형량이 과소나 과대하게 출력되어 있어 약간의 비율 조절이 필요하다. 이 비율 값은 해당 모드 형상의 변형량과 같은 값이기 때문에 이를 고려하여 비율 값(Scale Factor)을 설정해야 한다. 일반적으로 형상에 따라 결함의 크기를 다르게 해야 되며, 해석 중에 문제가 바뀌지 않도록 제조공차와 동일한 범위(약 1% 미만)에 있어야 한다. 다만 비율 값(Scale Factor)을 과도하게 낮출 경우 좌굴 모드가 발생하지 않을 수 있음을 유의해야 한다.

[그림 8] B6 시스템의 속성 설정(약간의 결함 발생 설정)

비선형성이 높은 좌굴 해석을 수행하는 경우 수렴에 대한 문제가 발생할 수 있다. 보통 수렴에 대한 어려운 부분은 좌굴이 발생하는 극한점 이후에 발생한 불안정한 상태일 가능성이 높다. 이 불안정한 상태를 보정하기 위해 Stabilization option을 고려해 볼 수 있다. 이 옵션을 사용하면 restart 기능을 사용 가능하며, restart 지점을 좌굴이 일어나기 전의 point로 설정하고, 다시 발산할 경우 restart 지점을 조금씩 뒤로 설정하는 것이 팁(tip)이다.

*Stabilization option에 대해서는 아래 Help문서를 참고

※ MAPDL Online Help에 Technology Showcase: Example Problems 21(Chapter 21: Buckling and Post-Buckling Analysis of a Ring-Stiffened Cylinder Using Nonlinear Stabilization)

맺음말

좌굴 해석을 수행한다는 것은 임계하중을 계산하고, 좌굴의 형상, 더 나아가 좌굴 이후의 거동까지 계산하기 위해서로, Ansys로 하중 적용 방법과 결과 확인 시 주의점들, 해석 팁까지 다루었다. 이 글로 Ansys Workbench Mechanical을 활용한 좌굴 해석에 충분한 도움이 되길 바란다.