ASME BPVC, Section-VIII, Division-2, 5.4 항에 근거한 좌굴 해석
 

ASME(American Society of Mechanical Engineers) BPVC, Section-VIII, Division-2, Part 5는 해석을 통한 설계 요구사항에 대해 설명하고 있다. 이 중에서 5.4 Protection Against Collapse From Buckling은 좌굴 해석에 대해 설명하고 있는데, 2023년판부터 좌굴 해석의 내용을 좀더 상세하게 설명하고 평가 방법도 변경되었다. 본고에서는 2021년판과 2023년판에서 설명하고 있는 선형 좌굴 해석 방법을 알아보고 예제를 통해 하중계수 및 관련 요소들을 산출하는 방법에 대해 이해하고자 한다.

 

Introduction 

ASME는 미국 기계 학회의 약칭으로, 기계에 관한 표준 정립, 보일러 및 압력 용기의 설계, 제작, 검사에 관한 기술 기준을 제시하고 있다. ASME 규격은 1900년대 초까지 많은 보일러 사고에 의해 수많은 인명피해가 발생함에 따라 보일러에 대한 안정성 확보가 필요하다는 관점에서 정립되어 설계에 대한 지침을 제공하고 있다. 그 중에서 Section-VIII-2, 5.4 항에 설명된 좌굴 해석은 2021년판까지 세 가지 타입으로 구분하여 설명하고 있었으나, 2023년판부터 개정되어 두 가지(A-탄성, B-소성) 방법을 제시하고 있다.

 

 

 
그림 1 ASME BPVC-VIII-2-2023

 

 

지금부터 2021년판 타입-1과 2023년판부터 개정된 방법-A에 설명된 선형 좌굴 해석 방법에 대해 소개한다. 

 

 

■ ASME-VIII-2, 2021 Edition, 5.4.1.2

구조 안정성 평가에 사용되는 설계 계수(Design Factor)는 수행된 좌굴 해석 유형에 기반한다. 좌굴 하중이 수치 해석(분기 좌굴 해석 또는 탄소성 붕괴 해석)을 통해 결정될 때, 쉘 부재에 적용하기 위한 최소 설계 계수는 아래 세 가지 유형으로 정의한다. 

 

TYPE-1: Elastic Stress Analysis without Geometric Nonlinearities in the Solution (Minimum Design Factor, Φ_B=2/β_cr) 

구성 요소의 전하중(Prestress)을 결정하기 위해 솔루션에서 기하학적 비선형성 없이 탄성 응력을 이용하여 분기 좌굴 해석을 수행하는 경우 최소 설계 계수 Φ_B=2/β_cr을 사용해야 하며, 아래 β_cr 계수에 대한 사용 값을 제시하고 있다.

• The Capacity Reduction Factors, β_cr
  (a) For unstiffened or ring stiffened cylinders and cones under axial compression
  
  (b) For unstiffened and ring stiffened cylinders and cones under external pressure
     β_{cr = 0.80}
  (c) For spherical shells and spherical, torispherical, elliptical heads under external pressure
     β_{cr = 0.124}

상기 내용에서는 ASME-VIII-2, Table 5.3의 설계 하중 조합(1)~(9)를 바탕으로 부품의 전하중을 설정한다. [그림 2]

 

 

그림 2 Load Case Combination and Allowable Stresses for an Elastic Analysis

 

 

그림 2에 있는 Table 5.3의 파라미터는 아래 그림 3의 ASME-VIII-2 Table 5.2를 참고한다.

TYPE-2: Elastic-Plastic Analysis with the Effects of Nonlinear Geometry in the Solution (Φ_B=1.667/β_cr)

부품의 전하중을 결정하기 위해 솔루션에서 비선형 형상의 영향을 받는 탄소성 응력을 사용하여 분기 좌굴 해석을 수행하는 경우 최소 설계 계수 Φ_B=1.667/β_cr를 사용하며, 그림 2의 설계 하중 조합 (1)~(9)를 바탕으로 부품의 전하중을 설정한다.

 

 

 
그림 3 Load Combination Parameters

 

 

TYPE-3: Collapse (Elastic-Plastic) Analysis (5.2.4) with Geometric Imperfections (Table 5.5)

ASME-VIII-2, 5.2.4 Elastic-Plastic Stress Analysis Method에 따라 결함이 고려되는 해석 모델의 붕괴 해석을 수행하는 경우, 설계 계수는 Table 5.5, 계수 하중 조합에 포함되어 있다. 이때 붕괴 해석은 탄성 또는 소성 재료 거동 모델을 사용할 수 있으며, 구조물이 작용 하중에 대해 탄성 거동을 보이면, 탄소성 재료 모델이 요구되는 탄성 거동을 제공하며, 붕괴 하중은 이러한 탄성 거동에 기반하여 계산된다.

 

 

 
그림 4 Load Case Combination and Load Factors for an Elastic-Plastic Analysis

 

 

■ ASME-VIII-2, 2023 Edition 5.4

2023년판 5.2 절에는 소성 붕괴 하중에 적용되는 설계 인자는 허용 하중을 설정하고 소성 붕괴로부터 보호하며, 압축 응력장이 있는 부품의 좌굴로 인한 붕괴를 방지하기 위해서는 설계 계수도 적용되어야 함을 명시하고 있다. 
5.4 절에서는 좌굴로 인한 붕괴에 대한 보호를 보여주는 두 가지 해석 방법을 제시한다.

METHOD-A: Elastic Analysis (Five Steps)

첫 번째 METHOD-A는 5단계의 탄성 해석 절차이며, 각 하중 케이스는 탄성 해석이 필요한 유효성 기준을 충족하는지 확인하기 위해 평가된다. 그런 다음 고유값 좌굴 해석과 Capacity Reduction Factor β_cr를 조합하여 각 하중 케이스에 대한 고유한 허용 막 응력이 계산된다. 절차에 있는 유효성 요구사항 중 하나라도 충족되지 않으면 METHOD-B를 사용해야 한다.

METHOD-B: Collapse Analysis (β_b=1.67) (5.2.4) with Geometric Imperfections (Table 5.14)

METHOD-B는 해석 모델의 결함을 고려한 탄소성 좌굴 해석이다.

 

 

그림 5 Load Case Combinations for Method-A and Method-B Buckling Analysis

 

 

■ Buckling Analysis METHOD-A

이 방법은 독립적인 개별 부품(예: 헤드, 실린더, 원뿔통)을 단독으로 평가할 때 사용하기 위한 방법이지만 두 개 이상의 부품을 조립체로 평가할 때도 이 절차를 사용할 수 있다. 절차 중 어느 시점에서든 요구사항을 충족하지 못하면 방법-B의 절차를 사용해야 한다.

Step 1: 그림 5 Table 5.14의 각 하중 조합 [k = (1), (2), ... (n)]에 대해 βb component,k = 1.0을 사용하여 고유값 좌굴 해석을 수행한다. 조립체의 각 부품에 대해 개별 고유값 λ component,k가 추출되어야 한다.

Step 2: 그림 5 Table 5.14의 각 하중 조합에 대해, 해당 하중을 고유값(βb component,k = λcomponent, k)에 곱한 별도의 탄성 응력 해석을 수행한다. 여러 부품을 동시에 하나의 조립체로 평가하는 경우, 각 부품의 하중은 지배적인 고유값에 곱해져야 한다.

Step 3: 중간 표면에서 각 부품의 임계 좌굴 위치(고유 모드 형상에서 결정됨)에 대한 등가 막 응력을 추출한다.

• (a) 임계 좌굴 위치가 실린더 또는 원뿔통에 있는 경우, Step 3의 등가 막 응력에 Capacity Reduction Factors β_cr (a) 또는 (b)의 βcr을 곱한다.
• (b) 임계 좌굴 위치가 구형 또는 성형 헤드에 있는 경우, 등가 막응력에 Capacity Reduction Factors β_cr (c)의 βcr을 곱한다.
• (c) 임계 좌굴 위치가 (a) 또는 (b)에 포함되지 않는 경우, Method-B를 사용해야 한다.

Step 4: Step 3에서 계산된 등가 막응력과 Capacity Reduction Factor의 곱은 σ,crit,k이며, 각 부품의 σ,crit,k를 0.55Sy와 비교한다.

• (a) σ,crit,k ≤ 0.55Sy인 경우, σ,crit,k를 설계 마진 2.0으로 나눈다. 이 값을 Sc,k로 지정하고, k는 특정 하중 조합 k = (1), (2), ..., (n)에 해당한다. 이것이 Step 5의 k번째 하중 조합에 대한 허용 막 좌굴 등가 응력이 된다.
• (b) σ,crit,k > 0.55Sy인 경우, Sc,k = 0.55Sy/2 또는 Method-B를 사용할 수 있다.

Step 5: 그림 5 Table 5.14의 각 하중 조합에 대해 βb = 1일 때 임계 좌굴 위치에서 계산된 좌굴 등가 막 응력 Pm, k를 해당 허용 값과 비교한다.

 

■ Buckling Analysis METHOD-B

Method-A의 요구사항을 충족할 수 없는 경우 다음 절차를 사용해야 한다.

Step 1: 그림 5 Table 5.14의 각 하중 조합에 대해 βb = 1을 사용하여 고유값 좌굴 해석을 수행한다.

Step 2: Step 3의 해석에서 기하학적 결함은 Step 1의 고유 모드 형상을 곱하여 명시적으로 포함되어야 한다. 결함의 크기는 다음 옵션 중 하나를 사용하여 결정할 수 있다.

• (a) ASME -VIII-2 2023 Edition 4.4.4의 방정식
• (b) UDS(User’s Design Specification)에 지정된 제조 공차
• (c) 가용한 경우 측정값
• (d) Step 3에 자세히 설명된 허용 기준을 만족하도록 기하학적 결함의 한계를 결정할 수 있다. 이렇게 계산된 불완전성은 UDS에 포함되어야 한다.

Step 3: 그림 5 Table 5.14의 각 하중 조합에 대해 βb = 1.67을 사용하고 Step 2의 결함을 포함하여 탄소성 해석을 수행한다.

• (a) 해석에서는 탄소성 재료 모델을 사용해야 한다. 그리고 von Mises 항복 함수와 관련 유동 규칙을 사용해야 하고 가공 경화를 포함하는 재료 모델을 사용해야 한다. 온도 의존 가공 경화 거동을 포함하는 True stress-strain 곡선 모델이 Annex 3-D에 제공된다. 이 재료 모델을 사용할 때 true ultimate stress까지 가공경화 거동을 포함해야 하며, 그 이상에서는 완전 소성 거동(즉, 응력-변형률 곡선의 기울기가 0)을 적용해야 한다.
• (b) 수렴이 이루어지면 부품은 이 하중 조합에 대해 안정적이고, 그렇지 않으면 부품 구성(예: 두께)을 수정하거나 작용 하중을 줄여야 하며 해석을 반복해야 한다.
  
  

Numerical Analysis

부재의 좌굴 하중을 수치 해석으로 결정할 때, 최소 좌굴 하중 산정을 위해 모든 가능한 좌굴 모드 형상을 고려해야 하며 모델 단순화로 인해 중요한 좌굴 모드가 배제되지 않도록 주의를 기울여야 한다. 예를 들어, 링 보강 원통 셸의 경우 최소 좌굴 하중 결정 시 축대칭 및 비축대칭 좌굴 모드를 모두 포함시켜야 한다.

■ ASME-VIII-2, 2021 Edition Type-1 Example

2021년판 타입-1에 따라 압력용기 형상의 좌굴 해석을 진행한다. 해당 해석 모델의 Geometry는 아래 그림 6과 같으며, Head와 Shell로 나누어 Surface Body로 구성한다.

 

 
그림 6 Geometry(Head&Shell)

 

압력용기의 재료는 원자로 소재 저합금강인 SA-508 Gr.3 Cl.1을 사용하고, 격자는 9,128개의 절점과 9,082개 요소로 구성된다.

 

 

 
그림 7 Material Properties

 

 

 
그림 8 Mesh statistics

 

 

압력용기의 경계조건은 바닥을 고정하는 Fixed Support를 적용하였고, 하중조건은 Head와 Shell에 각각 0.1[MPa]을 적용한다.

 

 
그림 9 하중 및 경계조건

 

 

상기의 내용으로 구조 해석을 수행 후 고유치 좌굴 해석을 진행한다.

STEP-1: For Each Load Combination in Table 5.3, Perform an Eigenvalue Buckling Analysis.

그림 2의 Table 5.3에 있는 하중 각 하중 조합에 대해 고유치 좌굴 해석을 수행한다. 이 때 충분한 Mode를 추출하기 위해 150개의 Mode를 확인하였다. 하중 조합은 이번 예제에서는 간단히 내/외부 압력인 P와 자중 D를 조합한 내용으로 진행한다.

• Load Combination: P+D
• External Pressure = 0.1 MPa
• G = 9.81 m/ s2

해석 결과 좌굴 하중 계수(Load Multiplier, λ)를 Head와 Shell에서 확인 가능하며 Head는 55.79, Shell은 134.86의 하중 계수를 가짐을 확인 가능하다. 
 

 

그림 10 Load Multiplier(Linear) of Eigenvalue Buckling

• Load Multiplier, λ: Head (55.79), Shell (134.86)

STEP-2: 5.4.1.3 Capacity Reduction Factor, β_cr 

• β_cr 은 원통 형상인 Shell과 접시 형태인 Head로 인해 각각 Shell: β_cr =0.80, Head: β_cr =0.124를 적용한다.

STEP-3: Minimum Design Factor, Φ_B 

다음으로 Head와 Shell의 최소 설계 계수를 구한다.

• (Head) ΦB = 2/βcr = 2/0.124 = 16.13
• (Shell) ΦB = 2/βcr = 2/0.80 = 2.5

STEP-4: Maximum Allowable Buckling Load Factor

상기 내용을 바탕으로 최대 허용 좌굴 하중 계수를 구하면 아래와 같다.

• (Head) LF = λ/ΦB = 55.79/16.13 = 3.459 ← This Component is Stable!
• (Shell) LF = λ/ΦB = 134.86/2.5 = 53.94 ← This Component is Stable!

 

■ ASME-VIII-2, 2023 Edition Method-A Example

이번에는 앞서 진행한 모델을 기반으로 2023년판 방법-A 탄성 해석에 따라 좌굴 해석을 진행한다.
재질은 동일하며, 25℃ 기준으로 최대 허용 응력과 항복 강도를 이용한다.

• Maximum Allowable Stress: 230 [MPa]
• Yield Strength: 345 [MPa]

STEP-1: For Each Load Combination in Table 5.14, 
Perform an Eigenvalue Buckling Analysis using βb=1.0.

그림 5 Table 5.14의 각 하중 조합에 대해 βb=1.0을 사용하여 고유값 좌굴 해석을 수행한다. 조립체의 각 부품에 대해 개별 고유값 λ,k가 추출되어야 한다. 2021년판 타입-1과 마찬가지로 하중 조합은 간단히 내/외부 압력인 P와 자중 D를 조합한 내용으로 진행한다.

• Load Combination: βb*(P+D), βb = 1.0
• External Pressure = 0.1 MPa
• G = 9.81 m/sq. sec

선형 좌굴 해석 결과인 Load Multiplier를 이번에는 각 부품의 고유값 λ,k로 지칭한다.

STEP-2: For Each Load Combination in Table 5.14, Perform a Separate Elastic Stress Analysis with the Applicable Load(s) Multiplied by the Corresponding Eigenvalue βb.

• 하중 조합(P+D)에 대해, 해당 하중을 고유값 βb에 곱한 별도의 탄성 응력 해석을 수행한다.
• Eigenvalues: Head (55.79), Shell (134.86)
• External Pressure = Head (0.1*55.79 MPa), Shell (0.1*134.86 MPa)
• Gravity = Head (9.81*55.79 m/s2), Shell (9.81*134.86 m/s2)

STEP-3: At the Critical Buckling Location (as Determined from the Eigenmode Shape), Extract the Equivalent Membrane Stress at the Mid-Surface for Each Component.

중간 표면에서 각 부품의 임계 좌굴 위치에 대한 등가 막 응력을 추출하며, 이때 Capacity Reduction Factor, β_cr 을 곱한다.

이번 예제에서는 Cylinder 형상인 Shell에 0.80, 접시 형태인 Head에 0.124를 곱한다.

• Cylinder or Cone: βcr = 0.80
• Sphere or Formed Head: βcr = 0.124 

그림 11 Equivalent Membrane Stress

 

 

• (Shell) Equivalent Membrane Stress*βcr = 620.96*0.80 = 496.77 [MPa]
• (Head) Equivalent Membrane Stress*βcr = 624.45*0.124 = 77.43 [MPa]

STEP-4: The Product of the Equivalent Membrane Stress with Capacity Reduction Factor, as Calculated in STEP-3, is σ,crit,k. Compare Each of the Component’s σ,crit,k to 0.55Sy.

Step 3에서 계산된 막 응력과 βcr의 곱을 σ,crit,k로 표현하며, 각 부품의 σ,crit,k를 0.55Sy와 비교한다.  

• (Head) σ,crit,k = 77.43 [MPa]
• (Shell) σ,crit,k = 496.77 [MPa]
• 0.55Sy = 0.55*345 = 189.75 [MPa]

Head의 경우 σ,crit,k가 0.55Sy보다 작으므로 σ,crit,k를 설계 마진 2로 나눈다. 

• (Head) σ,crit,k ≤ 0.55Sy
• Sc,k = σ,crit,k/2 = 77.43/2 = 38.72 [MPa] (Allowable Membrane Buckling Equivalent Stress)

Shell은 σ,crit,k 값이 0.55Sy 보다 크기 때문에 0.55Sy에 2를 나눈다.

• (Shell) σ,crit,k > 0.55Sy
• Sc,k = 0.55Sy/2 = 189.75/2 = 94.88 [MPa] (Allowable Membrane Buckling Equivalent Stress)

STEP-5: For Each Load Combination in Table 5.14 with βb=1 at the Critical Buckling Location, Compare the Computed Buckling Equivalent Membrane Stress, Pm,k, to the Corresponding Allowable Value, Sc,k.

하중 조합에 대해 βb=1일 때 임계 좌굴 위치에서 계산된 좌굴 등가 막응력 Pm,k를 Sc,k와 비교한다.

• (Head) Sc,k = 38.72 MPa, (Shell) Sc,k = 94.88 MPa
• (Head) Pm,k = 11.104 MPa
• (Shell) Pm,k = 4.4635 MPa

 그림 12 Buckling Equivalent Membrane Stress

(All Component) Pm,k ≤ Sc,k ← This Assembly is Stable!

 

 

맺음말

여기까지 ASME-VIII-2, 5.4 항에서 제시하는 좌굴 해석 절차를 살펴보고, Ansys Eigenvalue Buckling Analysis System을 이용한 선형 좌굴 해석 방법과 다양한 하중 조합에 대한 허용 좌굴 응력 산출 과정을 2021년판, 2023년판을 기준으로 구체적으로 다루어 보았다. 이론적 배경과 수치 해석 기법을 함께 고려한 이번 고찰을 통해, 관련 규정의 내용 이해에 도움이 되었기를 바란다. 앞으로 실제 설계 실무에서 수치 해석 기법을 적극 활용하여 합리적이고 경제적인 설계를 구현할 수 있게 되기를 기대해본다.